Indica unha forma posible de
facer dito reparto AGAPEMA |
|
Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática
| XI Rallye Matemático 2003. Solucións |
1-UNHA ORQUESTRA
Unha orquestra está formada por 16 xoves, o número de mulleres e superior o de homes. Unha irmá e o seu irmán, Maruxa e Paco, forman parte desta orquestra. Unha vez que eles faltaron a unha actuación o número de mulleres e homes presentes son a medida dos dous lados do ángulo recto dun triángulo rectángulo no que a lonxitude da hipotenusa está dada por un número enteiro.
¿Cantas mulleres e homes constitúen dita orquestra?.
Sol. 9 e 7 porque 82+62=102 e 8+6=14 (posibles ternas poderían ser (3,4,5), (6,8,10), (5,12,13) das que só cumpre a segunda).
2.-SORPRENDENTE
Nun producto de dous números aumentamos o primeiro factor o 10% e diminuímo-lo segundo outro 10%.
¿En qué porcentaxe varía o producto?. (Sinala en que sentido).
Sol. 1,1x*0,9y=0,99 xy. Diminúe un 1%.
3.- CORTANDO NUN PASTEL
Nove amigos queren partir un pastel de forma cadrada en partes iguais. Cinco de entre eles queren que a súa parte sexa de forma cadrada e os outros catro a queren en forma de triángulo.
Indica unha forma posible de
facer dito reparto
4.-¡Non te poñas nervioso!
Un participante do Rallye ponse nervioso: rompe en 8 anacos a súa folla de papel (1ª etapa), despois colle un dos anacos e párteo de novo en 8 (2ª etapa), e segue deste xeito. (en cada etapa, él toma un dos anacos e párteo en 8).
¿En cantas etapas terá 2003 anacos? (admitimos que pode facer tal cantidade de anacos dun deles incluso cando dito anaco sexa moi pequeno).
Sol. 2003=8+(n-1)7. n=286.
5.-UN RECTÁNGULO E DOUS CÍRCULOS
a) Se L é a lonxitude do rectángulo e l é a altura, ¿cal é o valor exacto do cociente L/l?
b) A mesma cuestión para o rectángulo da FIGURA 2.
FIGURA
2
Sol. a) 
b) 
6.-TRES CASILLAS PARA ENCHER
Colocar en cada unha das casillas
baleiras un número enteiro de xeito que cada un dos tres números do centro sexa
igual a media aritmética dos dous que o arrodean. 
Sol. 5,12,19,26,33
7.-O PARALELEPÍPEDO QUE SE CONVERTE
NUN CUBO
Dado un paralelepípedo recto. Se aumentamos a dimensión máis pequena en 3 cm e diminuímo-la máis grande en 5 cm, convértese nun cubo conservando o mesmo volume.
¿Cal é a lonxitude das arestas de dito cubo?
Sol. Supoñendo que a solución teña lado b (b+5)b(b-3)=b3 de onde b=15/2
8.-Un xiro dunha roda cadrada
O lado AB dun cadrado ABCD de
5 cm de lado está pousado sobre unha recta d; faise pivotar arredor do punto
B un cuarto dunha volta completa no sentido das agullas do reloxo. O punto A
toma o lugar do punto C e o punto C ponse na recta d. De seguido faise pivotar
o cadrado do mesmo xeito ó redor do punto C; continuamos de este xeito ata que
o lado AB repouse de novo sobre a recta d. ¿Cal é a lonxitude da traxectoria
percorrida polo punto A? (Correxirase con atención polo erro de orde
de Ce D).
Sol. 
(No
último xiro A non se move, é o centro do xiro).
ESPECIAL TERCEIRO DA ESO
9.-VIAXE A ILLA MAURICIO
Xusto antes da saída para Illa Mauricio un turista procedente de África do Sur buscou en Internet as equivalencias dese día entre diferentes moedas. Atopou que 1 euro = 9,2117 ZAR, 1 USD = 28,2 MUR e 1 euro = 1,067 USD.
(ZAR: rand sudafricano, USD: dólar USA, MUR: rupia mauricense).
A súa chegada a Illa Mauricio cambia 500 rands en rupias.
¿Cantas rupias obterá?. (Redondea a rupias)
Sol. 500/9,2117 euros*1,067 USD*28,2 MUR=1633 rupias
10.-PARTINDO UN RECTÁNGULO DE
OURO
Na figura do lado o rectángulo é
un rectángulo de ouro, a razón entre a súa lonxitude e a súa altura é o número
de ouro 
.
Calcula o valor exacto da área do disco sabendo que a lonxitude do rectángulo é de 4 cms.
Sol. A altura do rectángulo 
.
A diagonal ó cadrado é 
polo
que o radio ó cadrado é 
. A
área= 
ESPECIAL 4º DA ESO
9.-CONTACTOS AS DÚAS
A caixa dun reloxo ten a forma dun trapecio isósceles ABCD no cal se inscribe unha esfera para o reloxo de forma circular de 6 cm de radio. Constátase que, cando as agullas indican que son as dúas en punto as agullas do reloxo diríxense aos puntos de contacto entre a esfera e a caixa do reloxo.
¿Cales son as lonxitudes das bases AB e CD.
 |
 |
Os dous triángulos OBN e OMB son
rectángulos e iguais. O ángulo MON vale 60º e polo tanto BON 30. De aí deducimos
que AB= 
10.-UN CUBO NUNHA PIRÁMIDE
Unha pirámide regular de base cadrada na que as catro caras son triángulos equiláteros de 1 m de lado. Un cubo pousado na base está inscrito na pirámide.
Calcula o valor exacto da aresta dese cubo.
 |
Base e altura |
Sol. Os triángulos formados por un vértice das bases, o centro das bases, e o vértice superior son semellantes
,De onde 
De
aquí 
Base do triángulo pequeno