Indica una forma posible de
hacer dicho repartoAGAPEMA |
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Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática
| XI Rallye Matemático 2003. Soluciones |
1.-UNA ORQUESTA
Una orquestra está formada por 16 jóvenes, el número de
mujeres es superior al de hombres. Una hermana y su hermano, María y
Paco, forman parte de esta orquesta. Una vez que ellos faltaron a una actuación
el número de mujeres y hombres presentes son la medida de los dos lados
del ángulo recto de un triángulo rectángulo en el que la
longitud de la hipotenusa está dada por un número entero.
¿Cuántas mujeres y hombres constituyen dicha orquesta?.
Sol. 9 y 7 porque 82+62=102 y 8+6=14 (posibles ternas podrían ser (3,4,5),
(6,8,10), (5,12,13) de las que solo cumple la segunda).
2.-SORPRENDENTE
En un producto de dos números aumentamos el primer factor el 10% y disminuimos
el segundo otro 10%.
¿En qué porcentaje varía el producto?. (Señala en
que sentido).
Sol. 1,1*0,9y=0,99 y. Disminuye un 1%.
3.- CORTANDO UN PASTEL
Nueve amigos quieren partir un pastel de forma cuadrada en partes iguales. Cinco
de entre ellos quieren que su parte sea de forma cuadrada y los otros cuatro
la quieren en forma de triángulo.
Indica una forma posible de
hacer dicho reparto
4.-¡NO TE PONGAS NERVIOSO!
Un participante del Rallye se pone nervioso: rompe en 8 trozos su hoja de papel
(1ª etapa), después coge uno de los trozos y lo parte de nuevo en
8 (2ª etapa), y sigue de esta manera. (en cada etapa, él toma uno
de los trozos y lo parte en 8).
¿En cuántas etapas tendrá 2003 trozos? (admitimos que puede
hacer tal cantidad de trozos de uno de ellos incluso cando dicho trozo sea muy
pequeño).
Sol. 2003=8+(n-1)7. n=286.
5.-UN RECTÁNGULO Y DOS
CÍRCULOS
a) Si L es la longitud del rectángulo y l es la altura, ¿cuál
es el valor exacto del cociente L/l?
b) La misma cuestión para el rectángulo de la FIGURA 2.
FIGURA
2
Sol. a) 
b) 
6.-TRES CASILLAS PARA LLENAR
Colocar en cada una de las casillas vacías un número entero de
modo que cada uno de los tres números del centro sea igual a la media
aritmética de los dos que lo rodean
. 
Sol. 5,12,19,26,33
7.-EL PARALELEPÍPEDO QUE SE CONVIERTE
EN UN CUBO
Dado un paralelepípedo recto. Si aumentamos la dimensión más pequeña en 3 cm y disminuimos la más grande en 5 cm, se convierte en un cubo conservando el mismo volumen.
¿Cuál es la longitud de las aristas de dicho cubo?
Sol. Suponiendo que la solución tenga lado b (b+5)b(b-3)=b3 de donde b=15/2
8.-UN GIRO DE UNA RUEDA CUADRADA
El lado AB de un cuadrado ABCD de 5 cm de lado está posado sobre una
recta d; se hace pivotar al rededor del punto B un cuarto de una vuelta completa
en el sentido de las agujas del reloj. el punto A toma el lugar del punto C
y el punto C se pone en la recta d. A continuación se hace pivotar el
cuadrado del mismo modo al rededor del punto C; continuamos de este modo hasta
que el lado AB repose de nuevo sobre la recta d. ¿Cuál es la longitud
de la trayectoria recorrida por el punto A?
Sol. 
(En
el último giro A no se mueve, es el centro del giro)..
ESPECIAL TERCERO DE LA ESO
9.-VIAJE A ISLA MAURICIO
Justo antes de la salida para Isla Mauricio un turista procedente de África
del Sur buscó en Internet las equivalencias de ese día entre diferentes
monedas. Encontró que 1 euro = 9,2117 ZAR, 1 USD = 28,2 MUR y 1 euro
= 1,067 USD.
(ZAR: rand sudafricano, USD: dólar USA, MUR: rupia mauricense).
A su llegada a Isla Mauricio cambia 500 rands en rupias.
¿Cuántas rupias obtendrá?. (Redondea a rupias)
Sol. 500/9,2117 euros*1,067 USD*28,2 MUR=1633 rupias
10.-PARTIENDO UN RECTÁNGULO
DE ORO
En la figura del lado el rectángulo es un rectángulo de oro, la
razón entre su longitud y su altura es el número de oro
.
Calcula el valor exacto del área
del disco sabiendo que la longitud del rectángulo es de 4 cms.
Sol. La altura del rectángulo es:
La diagonal al cuadrado es
por
lo que el radio al cuadrado es 
. El
área= 
ESPECIAL 4º DE LA ESO
9.-CONTACTOS A LAS DOS
La caja de un reloj tiene la forma de un trapecio isósceles ABCD en el
cual se inscribe una esfera para el reloj de forma circular de 6 cm de radio.
Se constata que, cuando las agujas indican que son las dos en punto las agujas
del reloj se dirigen a los puntos de contacto entre la esfera y la caja del
reloj.
¿Cuáles son las longitudes de las bases AB y CD?.
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Los dos triángulos OBN
y OMB son rectángulos e iguales. El ángulo MON vale 60º y
por lo tanto BON 30. De ahí deducimos que AB= 
10.-UN CUBO EN UNA PIRÁMIDE
Una pirámide regular de base cuadrada en la que las cuatro caras son
triángulos equiláteros de 1 m de lado. Un cubo posado en la base
está inscrito en la pirámide.
Calcula el valor exacto de la arista de ese cubo.
Sol. Los triángulos formados por un vértice de las bases, el centro
de las bases, y el vértice superior son semejantes
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Base y altura |
De
aquí 
Base del triángulo pequeño