Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática

1.-Un camembert para os camemberts (Camembert é un tipo de queixo francés)
Unha empresa exporta 72 millóns de euros en camemberts desde Europa e o director de ventas non ten mais que este diagrama representando as exportacións.

¿Cal é o montante aproximado en euros das exportacións a Asia, a África e a América?.

Sol.: Cada 30 graos corresponden a 6 millóns de euros e polo tanto África (90º) 18 millóns, Asia (60º) 12 millóns e América (210º) 42 millóns de euros

2.-Un desexo para a temporada de fútbol
No campionato, un equipo de fútbol perdeu 5 partidos e non empatou ningún. Se ganase tódolos partidos restantes da temporada, tería un total do 80% de victorias.

¿Cal é o número total de partidos da temporada?

Sol.;Un total de 80% de victorias sen empates correspóndese con un 20% de derrotas que son 5 partidos. 0.2 · x = 5, e polo tanto x=25

3.-¡Cantos douses!
Escritos todos os números enteiros desde 2 hasta 2006 nos que na escritura se emprega a lo menos unha vez a cifra 2: 2, 12, 20, 21, 22, … , 2005, 2006.

¿Cantos de estes números se escribiron?

Sol: De unha cifra 1
de dúas cifras (12, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 20, 21, 22, 23,24,…,29) 18
de 3 cifras comenzando por 1 (102, 112, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192, 120, 121,122, …,128, 129) 19, e a mesma cantidade comenzando por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e polo tanto 19 · 8 = 152. Comenzando por 2 desde 200 hasta 299, 100, en total de 3 cifras temos 152 + 100 = 252
de 4 cifras comenzando por 1 temos 252 (os de 3 cifras anteponiendo un 1) e ademais os números 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, en total de 4 cifras hasta 2006 temos 252 + 7 = 259, pero temos que contar tamén os dunha cifra (1) 1002, e 18 de 2 cifras ex. 1012, 1022, 1032.... faltan polo tanto 19, é decir o total é 530 + 19 = 549
O total é: 1 + 18 + 252 + 259+19= 549

4.-O problema do ferroviario
A sección dun túnel ferroviario ten a forma indicada na figura: un cadrado ABCD de 5 m de lado coroado dun semicírculo de diámetro AB. Un vagón porta contedores circula neste túnel, a súa plataforma esta situada a 1,50 m do chan.

Sol:

PQ = (2,52 – 22)1/2 = 1,5
QS = 5 – 1,5 = 3,5
A altura pedida é: PQ + QS = 3,5 + 1,5 = 5 m

5 Unha roda divertida
O lado AB dun hexágono regular ABCDEF de 5 cm de lado repousa sobre unha recta d.

Faise pivotar 60ª este hexágono no sentido das agullas do reloxo ao redor do punto B. O punto C colócase agora sobre a recta d. Faise pivotar agora o hexágono da mesma maneira ao redor do punto C, e así continuamos ata que o lado AB repousa de novo sobre a recta d.
Cal é a distancia percorrida polo punto A na primeira rotación de 60º do hexágono ao redor do punto B?
Cal é a lonxitude total da traxectoria total percorrida polo vértice A?

Sol 2*pi*5/6=5,23598 b)
2(2pi*5/6+ 2pi*8,66/6)+2pi*10/6 = 4pi/6( 5+8,66+5) = 2/3*pi*18,66= 39,08 cm

6 Un problema matemático hindú.
Un brahmán propuxo a Maruxa e Carmela o seguinte problema traducido do sánscrito:
Separados en dous grupos, uns monos desprázanse animadamente
Un dos grupos de monos xoga no bosque. O número de monos
deste grupo é igual ao cadrado da oitava parte do número total de monos.
Os doce monos do outro grupo estanse a divertir nun claro do bosque.
Decídeme, xentís damas, cantos monos hai?
Maruxa e Carmela dan respostas diferentes, pero correctas. Podedes dar vós esas repostas?

Sol;

O número total de monos é de 48 e no bosque hai 36, ou ben, en total son 16 e no bosque están 4.

Especial terceiro da ESO

7 Que familia!
Pertencemos á familia dos números divisibles por 9 e estamos comprendidos entre 350 e 650. Ademais cando nos restan o noso palíndromo* o resultado é 99.
Quen somos?
*palíndromo: número escrito ao revés. Exemplo: o palíndromo de 358 é 853.
Sol.: 423 -324=99
504 -405=99
594- 495=99
100a+10b+1c -100c-10b-1a = 99; 99a - 99c= 99; 99(a-c) = 99; a-c = 1.
Ademais: a+b+c= 9 ou = 9.n
Como ten que ser un número de 3 cifras e comprendido entre 350 e 650, só poden ter de comezo e remate 3_2, 4_3, 5_4 e 6_5 .
Por outra banda, como teñen que ser múltiplos de 9: o número a intercalar debe sumar 9 ou múltiplo de nove cos outros dous díxitos: 342, 423, 504 e 594.Como 342 é menor que 350, quedan os outros 3.

8 O cubo equilibrista
Considéranse tres cubos de dimensións distintas. Un ten de aresta 30 cm; outro ten de aresta 10 cm. O terceiro está en equilibrio cos outros dous cubos como indica a figura.Cal é exactamente o volume deste terceiro cubo?

Sol:

Especial cuarto da ESO
7 Os cadrados do museo
O gráfico co que se ilustra este problema non está a escala. Representa unha sala cadrada dun museo e, en gris, o pedestal cadrado dunha estatua. Para lousar esta sala, sen o pedestal, necesítanse exactamente 391 baldosas cadradas sen romper ningunha. Suponse que a área do pedestal é inferior a área da superficie lousada.Cales son as dimensións da sala e do pedestal se as lousas teñen 20 cm de lado?

Sol::
32 +391=202
1952 +391=1962
os lados son 3 ou 195
Como pregunta dimensións da sala e do pedestal: a base do pedestal ten 9 baldosas (3x3), cada lado ten 3 baldosas de lado 20 cm. Lado do cadrado base do pedestal: 60 cm
Lado da sala 20 baldosas de 20 cm = 400 cm.

O segundo resultado só é posible se a base do pedestal está pegado a dúas paredes.
Se a sala ten de lado 196 baldosas, e só precisamos 391 baldosas entón cubrimos só 2 laterales. A base do pedestal ten de lado 195 baldosas. Dimensións da sala, neste caso: 196 baldosasx20 cm de lado da baldosa= 3920 cm = 39,20 m.
Dimensións da bese do pedestal: 195 baldosasx20 cm/baldosa= 3900 cmm = 39 m.
En realidade esta solución non ten sentido, xa que non sería unha sala, sería un pasillo.
8 Un cinéfilo
Daniel está aboado a unha revista de cine que atribúe a cada filme unha nota enteira comprendida entre 0 e 4. Daniel calcula regularmente a media das notas das películas que viu no cine dende o principio do ano. Na súa próxima saída, Daniel dubida entre dous films, que teñen posta de nota na revista 4 e 1, respectivamente. Constata que se elixe o primeiro filme (de nota 4) a media aumentará en 0,1 e se elixe a segunda película (de nota 1) a media diminuirá en 0,1.
Cantos films ten xa visto Daniel este ano?
Sol:

nm+4=(n+1)(m+0,1)
nm+1=(n+1)(m-0,1)
m=5/2
n=14

volver - correo