AGAPEMA

 Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática

Porblemas do Rallye 2001

Problemas Terceiro e Cuarto
 
 
 1 - Os tres cadrados
 
 
ABCD, DEFH e FGCH son tres cadrados de centros respectivos I, J e K.

¿Cal é a área do pentágono ICKJD ?
 
Solución:

- Cadrado DEFH
O cadrado DEFH ten un área de 25. Dividindo o cadrado DEFH en 8 partes iguais, cada área é de 3'125. O trozo de pentágono son 3 áreas das mencionadas e medirán 9'375
- Cadrado FGCH
O cadrado FGCH ten un área de 25. Dividindo o cadrado FGCH en 8 partes iguais, cada área é de 3'125. O trozo de pentágono son 3 áreas das mencionadas e medirán 9'375
- Cadrado ABCD
O cadrado FGCH ten un área de 100. Dividindo o cadrado FGCH en 8 partes iguais, cada área é de 12'5. O trozo de pentágono son 2 áreas das mencionadas e medirán  25
A área total é 25+9'375+9'375

Área 43'75
 
 
 2 - Meu pai, ese heroe,
 

O ano pasado, a idade do meu pai era o dobre ca miña. Este ano, as nosas idades exprésanse polas dous mesmas cifras pero escritas nunha orde diferente.

¿Cal é a idade do meu pai?

Solución:

Sexa ab a idade do pai sendo a as decenas e b as unidades dese número. Descomposto o número quedaría:

10a + b - 1 = 2 ( 10b + a - 1 )
Logo 8a - 19b + 1 = 0
Se a=0 entón 19b=1 e iso non pode ser
Se a=1 entón 19b=9 e iso non pode ser
Se a=2 entón 19b=17 e iso non pode ser
Se a=3 entón 19b=25 e iso non pode ser
Se a=4 entón 19b=33 e iso non pode ser
Se a=5 entón 19b=41 e iso non pode ser
Se a=6 entón 19b=49 e iso non pode ser
Se a=7 entón 19b=57, entón b=3
Se a=8 entón 19b=65 e iso non pode ser
Se a=9 entón 19b=73 e iso non pode ser

Logo a única solución e a=7 e b=3.

As idades son 73 e 37.
 
 
3 - A verdade, se minto
 

Farruco e Brais din sempre a verdade agás o día do seu aniversario , data na que minten. Onte, 5 marzo, preguntóuselles :

«¿Cal é a data do voso aniversario?»
Farruco respondeu : onte.
Brais respondeu: mañá.
Pero hoxe 6 de marzo, á mesma pregunta cada un deles respondeu o mesmo que onte.

¿Cal é polo tanto a data de aniversario de cada un?
 
 
Solución:

Farruco o día 5 e Brais o día 6
 
 
 4 - O pasteleiro
 
 
Un pasteleiro desexa poñer nun escaparate en ringleiras un quilogramo de bombóns de chocolate nos que cada un deles pesa mais de 10 gramos. Se os pon en grupos de 2, 3, 4, 5 ou 6 sempre lle sobra 1.

¿Cantos bombóns ten para expoñer ?.
 

Solución:

O mínimo común multiplo de 2, 3, 4, 5, e 6 é 60. Se sempre sobra 1 terá 60+1bombóns. 

Terá 61 bombóns  

5 - Ti tiras ou apuntas
 
 
Mario, campión de petanca, di él que é capaz de mandar a bola na dirección do centro do bolinche para que chegue exactamente a toca-la «pequena » sen movela, en contacto con ela, sempre que o señor Manolo sexa capaz de calcularlle con una aproximación deica a décima de milímetro a distancia que debe de percorrer o centro da súa bola.
 

Calcular SA.

Solución:


Entón 82=42+EC2 
EC=6'92 cm, entón SA=800-6'92 

SA=793'08 cm  

6 - Para ser puntual
 
 
Se vou a 20 kms por hora chego á miña cita con media hora de atraso.
Se vou a 30 kms por hora chego con media hora de adianto.
 
¿Cal debe ser a miña velocidade para chegar puntualmente?

Solución:

v=e/t, sendo v a velocidade, e o espacio , t o tempo; logo temos o sistema de ecuacións
20=e/(t+0'5)
30=e/(t-0'5)
de onde v=24 Km/h

A velocidade é 24 Km/h.
 
 
 7 - Pregamento
 
 

Dada unha folla rectangular ABCD de 21 cm de largo e 29,7 cm de ancho, prégase de modo que o punto B coincida con I, punto medio de [CD]. Chamándolle M e N os puntos que sobre [AD] e [BC] tales que o dobrado efectúase ó redor do segmento [MN]
 

Calcula-la área do triángulo rectángulo CIN.

Solución:

Sexa o sistema de ecuacións:
x+y=29'7
y2=x2+10'52
Calculamo-lo valor de x e de y e a área será x·y/2
 
 
 

 

 

 

 

8 - Papá Noël na vila
 
 
Nunha vila de 153 familias, o papá Noel depositou na chimenea de cada familia 2, 3 ou 4 patinetes.
Sabendo que hai o mesmo número de familias que recibiron 2 patinetes como familias que recibiron 4.

¿Cantos patinetes distribuíu papá Noel na vila?

Solución:

Número de familias con 2 patinetes=a
Número de familias con 3 patinetes=b
Número de familias con 4 patinetes=a, logo as familias son
2a+b=153, b=153-2a
O número de patinetes será:
2a+3b+4a=6a+3(153-2a)=459

O número de patinetes é 459
  
Especial Terceiro
 

 9 - Un cadrado ben complicado!
 

Eu son un cadrado. O triple da metade do dobre do cuarto da miña diagonal é igual a 1 m.

¿Cal é a lonxitude do meu lado ?.
 
Solución:

3·0'5·2·0'25·d=1, logo d=4/3
Entón
d2=2l2, logo:

O lado mide 0'942
 

 

10 - Esto defórmase ...
 

Un sistema plano articulado esta constituído por 5 barras da mesma lonxitude l como se indica na figura. Este sistema colócase plano sobre una mesa horizontal, e a articulación é de tal sorte que os puntos A, B, D de unha parte, e A, C, E de outra parte están aliñados.

En esta posición, poñemos a = DAE
 
1. Calcular, en función de a :
a) o ángulo ADE
b) o ángulo AED
2. ¿Cal é o valor de á ?
  

 

 

Solución:

Os triángulos ABC e ADE deben ser isósceles.

Especial Cuarto
 
 
9 - A mosca larpeira
 

Sobre a parede interior dun vaso cilíndrico de espesor desprezable, de cinco centímetros de diámetro, atópase unha pinga de mel. Esta está situada a dous centímetros do bordo superior do vaso.

Unha mosca póusase sobre a parede exterior do vaso nun punto situado a dous centímetros de bordo superior do vaso, diametralmente oposto a pinga de mel. Apercibíndose a larpeira, ela vai a súa procura desprazándose sobre o vaso.

¿Cal é o traxecto mais curto entre a mosca e a pinga de mel ?
 
Solución:

Cortando o vaso cilíndrico verticalmente, teremos a figura seguinte

Despregando a figura teremos:


Logo aplicando o teorema de Pitágoras teremos o valor de x e a lonxitude será 2x
 

10 - Problema do cubo
 

Atopa-lo mais pequeno número enteiro n tal que número 31500 · n sexa o cubo de un número enteiro.

Solución:

31500=22·32·53·7, logo o número será n=2·3·72

O número será 294

 

 

 

volver - correo