AGAPEMA

 Asociación Galega de Profesores de Educación Matemática

XIII Rallye Matemático sen Fronteiras 2005. Proba e solucións.

1.-Outra vez un problema de idade 

Coa miña irmá maior teño unha diferencia de idade de 3 anos. Dentro de 5 anos o producto das nosas idades terá aumentado 270.

¿Cales son as nosas idades? 

Solución: As idades actuais son  x  e x+3    Se pasan 5 anos pasan a ser x +5 e x+8

Solución: x=23 anos     x+3=26 anos

2.-Un profesor multidisciplinario 

Para organizar unha gran manifestación deportiva o profesor de educación física debe reunir no estadio un número de alumnos comprendido entre 2.800 e 2.900. O profesor aproveitando esto failles notar que se se poñen en grupos de 2, ou de 3, ou de 4, ou de 5, ou de 6, sempre sobra un alumno; pero, milagre, se se poñen en grupos de 7, non sobra ningún alumno. 

¿Cantos alumnos se atopan no estadio?

Solución:

entón           

calculamos o  m.c.m (2,  3,  4,  5,  6)  = 60

. Buscamos os múltiplos de 60 que verifiquen 2800 < x < 2900

x-1 = 2820     ou  x – 1 = 2880

x = 2821   ou  x = 2881     deles buscaremos cal é múltiplo de 7

Solución  x = 2821

3.-O parabrisas 

                                                                                                      

                                                                                                      

  

 

       Se o parabrisas da figura é plano e de  60 cms de lonxitude. ¿Cal é a superficie barrida pola escobilla?                                                                                                                     

           


Solución:
 Construímos o simétrico do triángulo rectángulo con respecto o lado da dereita polo que teremos un triángulo equilátero de lado 40 cm, polo tanto o ángulo do triángulo rectángulo é de 60º  e por ser suplementario o ángulo de barrido do limpa-parabrisas é de 120º.

A sección de barrido é un sector da coroa circular  de radios R = 40 cm y r =10 cm

4.-A diana 

Unha diana de tiro con arco, ten un radio de 1 m. A área da zona de 2 puntos é o dobre da área da zona de 4 puntos, e esta última área é o dobre da área de 8 puntos. 

¿Cales son os radios respectivos dos círculos concéntricos que delimitan as zonas de 4 puntos e de 8 puntos?

 

 

 

 

Solución: 1 é o radio maior, y e z os seguintes de maior a menor, entón

zona de 2 ptos.      zona de 4 ptos   zona de 8 ptos

            

                           m = 0.378 m

                cm = 0.655 m

 

5.-Un ano que conta: 2005 

Facendo o cálculo de 102005 – 2005 obtemos un número enteiro (grande) 

¿Canto suman as cifras do número mencionado? 

Solución: 102005 ten un 1 e 2005 ceros
Facemos a resta e temos que hasta a marca vertical hay 2001 cifras, por tanto

   

                                                                 2  0  0    5    

               
hay 2001 noves seguidos  e ademáis un sete outros dos noves e un cinco; como piden a suma teremos 

6.-Familia rara 

A familia Rectángulo está formada por tódolos rectángulos que teñen 105 m2 de área e as medidas dos seus lados é sempre un número enteiro de metros.

¿Cantos membros ten a familia?

¿Cales son as dimensións do que ten maior perímetro?

¿Cales son as dimensións do que ten menor perímetro?

Solución:
O área mide 105 é ademáis son números enteiros os lados, polo tanto
descompoñemos 105 = 3 · 5 · 7
Se seleccionamos un dos datos como base a altura será o producto dos outros dous

Base

Altura

Perímetro

5 m

3 · 7 = 21 m

2 · (5 + 21) = 52 m

3 m

5 · 7 = 35 m

2 · ( 3 + 35) = 76 m

7 m

3 · 5 =15 m

2 · ( 7 + 15) = 44 m
105m 1m 2*(105+1)=212m

A familia ten catro membros 
Maior perímetro = 212 m
Menor perímetro = 44 m

7.-Robin dos bosques 

Despois de despoxar no bosque de Sherwood unha caravana do sherif de Nottingham, Robin dos bosques dispón de 10.412 pezas de ouro de 10 escudos, e despois de reparti-las dando a mesma suma a cada unha das familias pobres dunha vila, sóbranlle 17 pezas. Un mes despois, cando ten 12.035 pezas e as reparte co mesmo procedemento sóbranlle 23 pezas. Sabemos que hai mais de 100 familias na vila, pero:

¿Cantas familias hai na vila exactamente?

Solución:
Se restamos as que sobran quedan un múltiplo do número de familias
10412 – 17 = 10395   = 33 · 5 · 7 · 11
12035 – 23  =12012    =22 · 3· 7 · 11 · 13 
Calculamos ó m.c.m (10395, 12012) = 3 · 7 · 11= 231
A solución terá que ser ese número ou un múltiplo dél
Se dividimos  10412 entre 231 que dá de resto 17  
Se dividimos  12035 entre 231 que dá de resto 23  que son as condicións do problema.
Se comprobamos con outros múltiplos como o 462 non se verifican esas condicións.

8.-e as bombas bombean, bombean...

Unha bomba necesita unha hora para baleirar unha cisterna. Outra bomba, mais potente, necesita media hora para baleirar a mesma cisterna. 
¿Canto tempo, expresado en minutos fará falta para baleirar a cisterna se as dúas bombas traballan ó mesmo tempo? 
Solución: 1/(1/30+1/60)=60/3=20 minutos. (suma harmónica)

ESPECIAL TERCEIRO DA ESO

9.-O reparto do pastel 

Os gañadores das duas categorías do rallye 2005 teñen que repartirse a partes iguais un inmenso pastel que ten a forma dun trapecio ABCD no cal os lados paralelos teñen AB=54 cm e CD=26 cm

¿A que distancia de A ha de estar o punto M, sobre [AB], de xeito que o segmento [DM] divida ó pastel en duas partes que teñan a misma superficie?

Solución:

Con esta colocación sabemos que  a área do triángulo ADM é igual ás áreas dos triágulos  DCM, MCB.

Os tres teñen altura h entón as súas áreas serán  

Simplificando a ecuación quédanos

                              cm    

Se cambiamos a orde dos vértices entón

   

    

    

10.-Un ano popular 

¡Bos días!. Estamos a martes 15 de marzo de 2005. Fernando, que é socio fundador dunha Sociedade de Profesores de Matemáticas, di que o ano do seu nacemento é o cadrado dun número enteiro.

¿En qué ano naceu Fernando?
Solución:
432=1849
442= 1936
452=2025
A solución terá que ser 44 anos   polo que 2005 – 1936 = 69 anos de idade


ESPECIAL CUARTO DA ESO

9.-!Bravo polas rapazas! 

En un traballo común de matemáticas, a media das notas dos 28 alumnos da clase é de 11,25, a media das notas das rapazas e de 11,8 e a media das notas dos rapaces é de 10,4.

¿Cantas rapazas hai nesa clase? 

Solución:     

x=17 alumnas    28 - x = 11 alumnos

10-Naide é perfecto

Chamamos cadrado perfecto a un número que é o cadrado dun número enteiro. Os primeiros cadrados perfectos son 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... ¿Cal será a primeira serie de 500 números naturais consecutivos que non teña ningún cadrado perfecto?

            Nota: Ten en conta que as sdiferencias entre dous cadrados perfectos sucesivos é: 1; 3; 5; 7; 9; ...

¿Cal é o primeiro número desa serie?

¿Cal é o último número desa serie? 

Solución:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

 

0

1

 

 

4

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

2

 

4

 

6

 

8

 

 

 

12

 

 

22

 

 

 

 

32

 

 

 

 

 

 

42

 

 

 

 

 

 

 

 

52

 

Hai 2 números non cadrados entre 12  e  22
Hai 4       “          “         “          “    22  e  32
Hai  6       “          “         “          “   32  e  42
......                     ........                    ...........
entón

..........                  .........                    ..........
Hai 500 números non cadrados entre 2502  e  2512     62500  e  63001
A solución é  62501, 62502, 62503, .... ,  63000

volver - correo