Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais

1. Introducción

A formación xeral dos alumnos e das alumnas, a súa orientación e preparación para estudios superiores constitúen as finalidades do Bacharelato. Esta formación debe favorecer, entre outras, actitudes reflexivas, críticas e de análise para comprender e valora–las realidades do mundo no que vivimos, e proporciona–la autonomía persoal para poder enfrontarse ás novas situacións que se producirán no mundo cambiante e dinámico no que vivirán.

Os diversos fenómenos que se producen no mundo poden comprenderse, describirse e valorarse tanto empregando a óptica científica, como a humanística ou a que aportan as Ciencias Sociais. Cada un destes puntos de vista de análise da realidade aporta a súa propia metodoloxía e persegue uns fins que lle son propios. Pero desde principios de século pode observarse que as Matemáticas, que sempre proporcionaron soporte metodolóxico, simbólico e procedemental ó desenvolvemento de áreas tipicamente científicas, tamén apoian o progreso dos distintos campos que estudian as diversas Ciencias Sociais; o que non é máis que un síntoma de que se recoñecen as vantaxes que se obteñen ó expresar na linguaxe matemática conceptos, relacións e procesos que noutro tempo se trataban soamente en forma verbal.

Dentro das Ciencias Sociais existen temas cun marcado carácter cuantitativo como, por exemplo, a demografía ou a economía, que se adaptan perfectamente a un estudio matemático. Pero inda naqueloutros campos cunha natureza diferente resulta difícil avanzar a base de descricións verbais das teorías, pois a súa complexidade e as súas interrelacións mostran resistencias á análise, ás comparacións e ás aplicacións. Cando estas teorías poden modelarse matematicamente as dificultades diminúen, podendo resultar incluso que problemas que en principio se consideran diferentes corresponden ó mesmo modelo e o propio modelo serve para obter resultados válidos nos diferentes campos de estudio.

As Matemáticas que se aplican ó estudio das Ciencias Sociais e que teñen cabida no Bacharelato deben dar conta tanto daqueles problemas nos que é necesario unha análise de observacións discretas como de problemas nos que deben tratarse datos continuos. Pero o valor instrumental das Matemáticas concrétase en ofrece–las ferramentas (como as que proporcionan a estatística, o álxebra lineal, a programación lineal e o cálculo infinitesimal) imprescindibles para representar, sintetizar, optimizar e comunicar por medio de gráficas, táboas, expresións alxebraicas, etc., a información cuantitativa relevante dos problemas das Ciencias Sociais. Aínda que tamén deben proporciona–lo coñecemento relativo, ó seu modo de facer, ó abstrae–las relacións fundamentais das entidades e procesos para lograr modelos representativos das situacións analizadas.

Para a consecución do uso adecuado do «saber facer matemáticas» requírese poñer en xogo un amplo número de procedementos referentes á habilidade na comprensión e emprego de diferentes linguaxes matemáticas; estratexias xerais ou heurísticas como a formulación, comprobación e rexeitamento de hipóteses, busca de regularidades, toma de decisións sobre o plan a realizar, etc., e a aplicación de algoritmos particulares que teñan un propósito concreto. A actividade de resolución de problemas, tan propia das Matemáticas, é imprescindible para lograr unha apropiada capacitación no uso deste tipo de recursos, e non debe faltar ó longo dos dous cursos de Bacharelato. Ademais, resolvendo problemas que traten situacións reais, os conceptos e métodos matemáticos empregados mostran tanto a súa potencia como a súa relevancia.

Por importante que sexa o valor instrumental asignado ás Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais, estas non deben converterse, en canto a contidos conceptuais, nun simple receitario onde o único importante sexa a aplicación inmediata e pouco reflexiva dos conceptos e dos procedementos proporcionados. O papel do Bacharelato como etapa que debe preparar ós alumnos e alumnas para aborda–los estudios posteriores e o amplo abano destes, nos que a veces será importante profundar e fundamenta–los resultados matemáticos, suxire a necesidade de que ó longo da etapa vaia arredándose a atención das actividades que permitan coñece–los diversos aspectos da realidade para interpretala mellor, daqueloutras facetas nas que se poña de manifesto a necesidade de fundamentación e formalización dos resultados obtidos. Este particular modo de «facer matemáticas» no que se empregan tanto as estratexias heurísticas para formular ou comprobar conxecturas e modelar situacións, como o razoamento deductivo para demostrar aquelas ó inferir novos resultados do modelo, ten un valor formativo de utilidade xeral que contribúe a crear hábitos, estructuras mentais e actitudes de aplicación noutros ámbitos distintos do matemático e dos diversos campos de estudio das Ciencias Sociais. Entre os diversos medios que poden utiliza–lo profesorado e o alumnado na clase de matemáticas convén facer unha mención especial á calculadora e ó ordenador, que ó facilita–la realización de cálculos tediosos ou repetitivos e ó presentar contornos de simulación nos que os alumnos e as alumnas poidan manipular situacións nas que aparezan conceptos complexos, favorecen unha mellor aprendizaxe dos contidos propostos.

2. Obxectivos xerais

As Matemáticas do Bacharelato de Humanidades e Ciencias Sociais contribuirán, como resultado dos procesos da aprendizaxe, á consecución das capacidades enunciadas nos obxectivos xerais seguintes:

·         Utiliza–los coñecementos matemáticos no proceso de modelado de diversas situacións propias das Ciencias Sociais, interpretando e aplicando os modelos creados e valorando a súa utilidade práctica e teórica.

• Resolver problemas e situacións, características tanto da actividade cotiá como as formuladas polas Ciencias Sociais, que requiran a utilización dos coñecementos matemáticos, abordándoas con autonomía, eficacia, creatividade e mentalidade aberta.
• Comprender e utiliza–las técnicas de expresión oral, escrita e gráfica apropiadas para analizar, valorar e comunica–la información, susceptible de ser tratada matematicamente, para adquirir unha opinión propia que permita expresarse criticamente sobre os problemas actuais, en particular sobre os fenómenos sociais e económicos.
• Actuar, nas situacións cotiás e na interpretación dos fenómenos sociais, de acordo cos modos propios da actividade matemática, como a exploración sistemática de alternativas, a necesidade de verificación, a precisión na linguaxe, a perseveranza na busca de solucións, o cuestionamento das apreciacións intuitivas, etc., mostrando unha actitude flexible e aberta ante outras opinións.
• Emprega–los coñecementos matemáticos adquiridos para analiza–los datos e informacións que aparecen nos medios de comunicación e noutros ámbitos, interpretando criticamente as mensaxes sobre cuestións económicas e sociais da actualidade.
• Utiliza–las estratexias propias das Matemáticas para formular axeitadamente os problemas, establecer definicións precisas, xustificar procedementos, adquirir rigor no pensamento, encadear coherentemente os argumentos e detectar incorreccións lóxicas.

3. Bloques de contidos

Os contidos das Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais preséntanse agrupados en bloques que non indican ningún tipo de prioridade. Esta agrupación, que non difire da que vén sendo tradicional nesta materia, non debe implicar un estancamento dos contidos nos seus bloques. Tanto o bloque de «Aritmética e álxebra» como o de «Resolución de problemas» teñen un neto carácter transversal, e as abundantes relacións que poden establecerse entre os contidos dos diferentes bloques deben poñerse de manifesto na programación de aula, evitando tratalos de forma illada. Mantense a distribución nos tres tipos de contidos para non esquecer que conceptos, procedementos e actitudes deben terse en conta á hora de impartir e avalia–las Matemáticas.

3.1 Aritmética e álxebra

Os contidos deste bloque, que se iniciaron nas anteriores etapas educativas, son necesarios para o desenvolvemento dos outros. A competencia numérica —coñece–lo significado e uso dos diferentes tipos de números—é un dos piares sobre o que é posible seguir presentando o edificio matemático. Trátase de que os alumnos e as alumnas sexan capaces de utilizar–los números reais e as súas operacións en diferentes contextos, empregando a estratexia de cálculo e a notación máis adecuada, utilizando, cando a situación o requira, a calculadora e controlando as marxes de erro producidas. As situacións problemáticas, que se derivan dos demais bloques de contidos e, nas que inevitablemente aparecerán os números reais, invitan a presenta–los contidos deste bloque en relación ós outros e non illadamente.

3.1.1 Contidos conceptuais

·         Radicais. Números irracionais. Números reais. Os números e, p, f.

• Ecuacións polinómicas.

3.1.2 Contidos procedementais

·         Representación na recta dos números irracionais obtidos mediante radicais.

• Utilización dos números reais e as súas operacións en diferentes contextos valéndose de aproximacións e estimacións, utilizando a notación máis adecuada e controlando os erros cometidos de acordo coas situacións estudiadas.
• Formulación e resolución de problemas que orixinen ecuacións polinómicas, utilizando métodos alxebraicos, gráficos e numéricos para calcula–la solución, e interpretala dentro da situación formulada.

3.1.3 Contidos actitudinais

·         Valoración crítica da utilidade da calculadora e demais tecnoloxías para a realización de cálculos.

• Disposición favorable a incorpora–la linguaxe alxebraica á linguaxe cotiá e á usada nas Ciencias Sociais, valorando a súa precisión e simplicidade para representar e comunicar fenómenos diversos.

3.2 Álxebra lineal

Atopar un método xeral de resolución de sistemas de ecuacións lineais baseándose nas propiedades das matrices que os caracterizan é o obxectivo fundamental do bloque.

Debe facerse notar ó mesmo tempo a vantaxe que ofrece unha boa notación, como a proporcionada polas matrices, para a representación e manipulación de datos estructurados, extraídos de contextos reais. A programación lineal de dúas variables inclúese debido á variedade de problemas de optimización relacionados coas Ciencias Sociais, sobre todo os relativos á economía, que poden resolverse empregando os seus métodos.

3.2.1 Contidos conceptuais

·         Matrices. Operacións. Propiedades.

• Determinantes de ordes dúas e tres.
• Sistemas de ecuacións lineais.
• Programación lineal bidimensional.

3.2.2 Contidos procedementais

·         Resolución de sistemas de ecuacións lineais utilizando as operacións e propiedades das matrices.

• Representación e manexo de datos estructurados en forma de matriz extraídos a partir de táboas e grafos referentes a situacións das Ciencias Sociais.
• Formulación e resolución de problemas utilizando as técnicas alxebraicas adecuadas e interpretando as solucións obtidas.
• Emprego de métodos gráficos para optimizar expresións lineais.

3.2.3 Contidos actitudinais

·         Valoración da utilidade das matrices como ferramenta para representar conxuntos de datos estructurados, de forma precisa e simple, para comunicar e resolver diferentes situacións das Ciencias Sociais.

• Disposición favorable a incorpora–las ferramentas que proporciona a álxebra lineal na resolución de problemas das Ciencias Sociais.

3.3 Análise

O concepto de dependencia funcional e as súas formas diferentes de expresión xa é coñecido desde a Educación Secundaria Obrigatoria, pero limitando o traballo con expresións alxebraicas a unhas poucas funcións elementais. Trátase agora de amplia–la gamma das funcións tratadas a partir da súa expresión alxebraica. Máis importante que a formalización dos conceptos de límite, derivada ou integral é a relevancia que acadan ó aplicalos á resolución de problemas concretos relacionados cos campos das Ciencias Sociais, sobre todo os relativos á optimización de funcións obtidas a partir de contextos reais.

Neste nivel é máis productivo, a veces, centrarse nos conceptos e nos enunciados dos teoremas que nas demostracións. Cando as demostracións son longas e usan técnicas complicadas poden distrae–la atención do fundamental que é o resultado que se está buscando. Non convén esquecer tampouco que os razoamentos intuitivos sobre o comportamento das funcións reais teñen, moitas veces, máis nivel de convicción que os razoamentos pseudo–formais que poden facerse neste nivel.

O concepto de derivada introdúcese como a medida da taxa de variación instantánea que experimentan as magnitudes. Este concepto leva implícito o de límite dunha función que debe tratarse, o mesmo que o de derivada, dunha maneira intuitiva. O concepto de integral definida como medida da área é máis importante que a aprendizaxe de sofisticadas técnicas de obtención de primitivas, que deben reducirse a casos sinxelos.

Entre os procesos de modelado de situacións das Ciencias Sociais, son importantes aqueles nos que a partir de datos concretos deséxase chegar a un modelo funcional. As técnicas elementais de interpolación polinómica serven ben ó propósito de ilustrar este proceso, poñendo de manifesto a súa potencia á hora de interpreta–los fenómenos e extraer conclusións dos mesmos.

3.3.1 Contidos conceptuais

·         Formas de expresión da dependencia funcional: descrición verbal, táboas, gráficas e expresións alxebraicas.

• Características das funcións: dominio, recorrido, continuidade, crecemento e decrecemento, extremos, convexidade, periodicidade, tendencia.
• Tipos de funcións: polinómicas, exponenciais, logarítmicas, periódicas e racionais.
• Interpolación polinómica.
• Derivada dunha función nun punto. Derivadas de funcións. Regras de derivación.
• Integral definida. Métodos de obtención de primitivas.
• Límites de funcións. Ramas infinitas. Asíntotas.

3.3.2 Contidos procedementais

·         Utilización de distintas fontes documentais das Ciencias Sociais que permitan establecer relacións funcionais entre dúas variables, expresándoas de diferentes formas. Recoñecemento das expresións alxebraicas das funcións elementais asociándoas ás súas gráficas respectivas.

• Interpretación das características das dependencias funcionais dadas en forma de táboa, por unha gráfica ou por unha fórmula, en relación ós fenómenos que describen.
• Axuste a unha función dos datos extraídos de situacións empíricas e obtención de valores non coñecidos, utilizando técnicas de interpolación e extrapolación.
• Aplicación do límite e da derivada na interpretación de situacións contextualizadas das Ciencias Sociais.
• Cálculo de áreas de figuras planas utilizando o cálculo integral.
• Utilización do cálculo de derivadas na investigación do comportamento de fenómenos representables mediante funcións, e, en particular, na resolución de problemas de optimización.

3.3.3 Contidos actitudinais

·         Valoración crítica da utilidade do ordenador para a representación e o estudio das funcións.

• Interese pola investigación de relacións entre magnitudes, valorando a utilización dos recursos proporcionados polo cálculo infinitesimal.
• Aprecio pola linguaxe das funcións e as gráficas para representar e resolver problemas dos ámbitos económico e social.

3.4 Estatística e probabilidade

A estatística descritiva é tratada con diferentes niveis de profundidade e extensión desde a Educación Primaria.

A súa finalidade é presenta–la información recollida das mostras dunha poboación de forma útil e clara. Sérvese para iso de táboas, gráficas, diagramas e diferentes parámetros centrais e de dispersión. Ampliarase este estudio coa inclusión das distribucións bidimensionais que servirán para diferenciar cando a relación entre dúas variables é funcional ou aleatoria, e neste caso, decidi–lo tipo e grao de relación que teñen, utilizando as rectas de regresión e o coeficiente de correlación. A atención debe centrarse máis na interpretación dos resultados que no cálculo destes, para o que é conveniente axudarse da calculadora ou do ordenador.

O traballo con distribucións de frecuencias relativas pode servir para introducir intuitivamente as distribucións de probabilidade. As distribucións continuas poden presentarse como límite das discretas, pasando dunha curva graduada a unha continua. A asignación de probabilidades a sucesos medindo áreas baixo curvas, debe limitarse ás distribucións binomial e normal, empregando para iso as táboas correspondentes. As técnicas elementais da estatística descritiva non responden preguntas acerca da mellor maneira de seleccionar mostras para que a información extraída delas sexa representativa da poboación e con que grao de confianza podemos aceptar esa información. Destas cuestións ocúpase a estatística inferencial, coa que nesta etapa debe terse un primeiro contacto a nivel intuitivo. As aplicacións sobre ensaios de hipóteses referentes a situacións relacionadas coas Ciencias Sociais deben ilustra–la potencia destes métodos.

3.4.1 Contidos conceptuais

·         Distribucións bidimensionais. Correlación e regresión lineal.

• Probabilidade. Probabilidade condicionada. Probabilidade total. Probabilidade «a posteriori».
• Distribución binomial. Distribución normal.
• Mostraxe. Distribucións mostrais. Estimación de parámetros.
• Contraste de hipóteses. Nivel de significación.

3.4.2 Contidos procedementais

·         Utilización de distintas fontes documentais sobre fenómenos sociais e económicos que permitan establecer relacións entre dúas variables, interpretándoos a partir do estudio das gráficas correspondentes e das técnicas que permitan coñece–lo tipo, funcional ou aleatorio, e o grao de relación entre ambas.

• Axuste dunha nube de puntos á recta de regresión para interpolar e extrapolar.
• Aproximación dunha distribución binomial mediante a normal.
• Asignación de probabilidades a sucesos usando técnicas elementais como o reconto directo, os diagramas de árbore, as táboas de continxencia, técnicas combinatorias e as táboas das distribucións binomial e normal.
• Resolución de problemas relacionados coa elección de mostras, condicións de representatividade e análise das conclusións que cabe extraer delas.
• Análise de informes estatísticos dados en forma de táboa ou gráfica.

3.4.3 Contidos actitudinais

·         Valoración da estatística e probabilidade como instrumentos que permiten interpretar, describir e predicir situacións incertas.

• Valoración crítica do uso da probabilidade e a estatística nos medios de comunicación, analizando a información e rexeitando a utilización incorrecta.
• Valoración da incidencia dos medios tecnolóxicos no tratamento e representación gráfica de datos estatísticos que proveñen de diversas fontes.

3.5 Resolución de problemas

Os contidos deste bloque teñen un carácter netamente transversal e en consecuencia non deben ser tratados independentemente dos demais. Ó resolver problemas, extraídos de contextos reais relacionados coas Ciencias Sociais ou de natureza estrictamente matemática, trabállase con obxectos concretos para examinar e abstrae–las relacións que poidan existir entre eles. Este traballo proporciona moitas veces un bo camiño para a construcción do coñecemento matemático. Polo tanto o bloque de resolución de problemas non pode contemplarse só en relación ós seus contidos, senón tamén como un método para facilita–la construcción dos conceptos e as súas interrelacións. Os recursos lóxicos —lei do tercio excluso, principio de non contradicción, etc.— deben aplicarse tanto na resolución de problemas como na demostración dalgunhas proposicións e teoremas, para, no último caso, apoiar e dar validez ós resultados obtidos mediante o emprego das diferentes estratexias heurísticas e aproximacións intuitivas. Non debe facerse un estudio illado deles senón que chegará con poñelos de manifesto cando se utilicen.

3.5.1 Contidos conceptuais

·         Recursos lóxicos.

3.5.2 Contidos procedementais

·         Planificación da resolución de problemas: interpretación, traducción á linguaxe matemática na que se encadre, resolución e estudio da solución.

• Aplicación de estratexias de resolución: simplificación de hipóteses, analoxía, particularización, xeneralización, inducción, utilización de diferentes recursos lóxicos, análise das posibilidades, etc.

3.5.3 Contidos actitudinais

·         Confianza nas propias capacidades para afronta–los problemas e tenacidade e perseveranza na busca de solucións.

• Valoración da importancia de buscar un plan de resolución de problemas investigando a posibilidade de utilizar diferentes métodos antes que a aplicación indiscriminada das ferramentas matemáticas.
• Sensibilidade e gusto polo rigor e a precisión na realización dos cálculos e pola presentación ordenada e clara do proceso seguido e dos resultados obtidos na resolución de problemas.

4. Criterios de avaliación

·         Utiliza–los números reais e as súas operacións, elixindo a notación máis axeitada, para intercambiar información e resolver problemas.

Preténdese verificar con este criterio a adquisición dun amplo rango de destrezas no manexo dos números reais e se os alumnos e as alumnas saben comparalos, operar con eles e utilizalos para recibir e producir información. Ademais o alumno e a alumna deben ser capaces de determina–lo método de cálculo apropiado a cada caso, ser conscientes da necesidade de empregar números aproximados e de acota–lo erro que se comete co seu uso. Valorarase a actitude que leva a non toma–lo resultado do cálculo por bo sen contrastalo coa situación de partida.

·         Traducir problemas enunciados na linguaxe natural á linguaxe alxebraica, selecciona–las técnicas axeitadas para a súa solución e interpreta–las solucións obtidas no contexto do que se trate.

Inténtase comprobar con este criterio se os alumnos e as alumnas son capaces de resolver problemas, tanto da vida cotiá como das Ciencias Sociais, utilizando a linguaxe alxebraica con soltura, e de elixi–las ferramentas necesarias (matrices, sistemas de ecuacións, programación lineal bidimensional, etc.) para obte–la solución, interpretando criticamente o seu significado.

·         Utiliza–la linguaxe matricial e as operacións con matrices como instrumento para representar datos estructurados en forma de táboas ou grafos provenientes de situacións diversas.

Procúrase comproba–la capacidade dos alumnos e das alumnas para utiliza–las matrices e as súas operacións como ferramenta alxebraica na resolución de problemas relacionados coa organización de datos, así como se saben interpreta–las matrices obtidas no tratamento das situacións estudiadas.

·         Analizar e interpretar cuantitativa e cualitativamente fenómenos económicos e sociais mediante o estudio das relacións funcionais que aparecen neles.

Trátase de valora–la capacidade de descrición e interpretación global, cualitativa e cuantitativamente, das relacións funcionais que representan distintos fenómenos sociais cando veñen dados en forma de táboa, por unha gráfica, por unha expresión alxebraica ou mediante a descrición verbal do fenómeno. Valorarase a destreza na identificación da equivalencia entre as distintas formas de representación funcional, e a competencia para identifica–las funcións elementais que aparezan.

·         Interpretar e elaborar informes sobre situacións reais que se poidan representar graficamente, que esixan ter en conta intervalos de crecemento e decrecemento, máximos e mínimos, tendencias de evolución e continuidade.

Con este criterio procúrase valorar se os alumnos e as alumnas son capaces de extraer conclusións a partir dun estudio das propiedades locais das funcións, analizando e interpretando os problemas relativos ó crecemento, extremos, tendencia de evolución dunha situación, empregando os límites e a derivada.

·         Resolver problemas de optimización extraídos de situacións reais de carácter económico e social utilizando o cálculo de derivadas.

Este criterio pretende comproba–la destreza adquirida polos alumnos e polas alumnas na aplicación do cálculo de derivadas para optimizar funcións que modelen situacións problemáticas do mundo económico e social. Tamén debe valorarse a capacidade de interpreta–los resultados obtidos no contexto do problema formulado.

·         Utilizar táboas e gráficas como instrumento para o estudio de situacións empíricas, axustándoas a unha función, e obte–los seus parámetros para adquirir información suplementaria, empregando os métodos de interpolación e extrapolación adecuados.

Con este criterio preténdese comproba–la capacidade dos alumnos e das alumnas para axusta–los datos extraídos dun experimento concreto a unha función, e obter información suplementaria mediante técnicas numéricas. Comprobarase tamén se o alumnado é capaz de analizar relacións entre variables que non se axusten a ningunha fórmula alxebraica, demostrando competencia no manexo de datos numéricos.

·         Distinguir se a relación entre os elementos dun conxunto de datos dunha distribución bidimensional é de carácter funcional ou aleatorio, e extraer conclusións de tipo cualitativo a partir da súa representación gráfica.

Preténdese comprobar con este criterio que, mediante a información gráfica aportada por unha nube de puntos, os alumnos e as alumnas son capaces de aprecia–lo grao e tipo de relación existente entre dúas variables e extrae–las conclusións apropiadas.

·         Interpreta–lo grao de relación entre as variables dunha distribución bidimensional e obter conclusións cuantitativas sobre diversas situacións, empregando o coeficiente de correlación e as rectas de regresión.

Preténdese comproba–la capacidade dos alumnos e das alumnas para asocia–lo coeficiente de correlación lineal e a recta de regresión coas situacións e relacións que miden. Valorarase tamén a competencia acadada no uso da recta de regresión como modelo matemático que permite realizar interpolacións e extrapolacións en situacións concretas.

·         Tomar decisións ante situacións que se axusten a unha distribución binomial ou normal, por medio da asignación de probabilidades ós sucesos correspondentes.

Preténdese valora–la capacidade dos alumnos e das alumnas para distinguir se diversos fenómenos aleatorios, discretos ou continuos, seguen a distribución binomial ou normal, e a soltura no manexo das correspondentes táboas para asignar probabilidades ós sucesos, analizándoos e decidindo a opción máis conveniente.

·         Asignar e interpretar probabilidades a sucesos simples e compostos (dependentes e independentes), utilizando diferentes técnicas como o reconto directo, diagramas de árbore, a combinatoria ou as táboas das distribucións binomial e normal.

Ademais de valora–la capacidade de descrición dos posibles resultados dun experimento ou xogo en termos de sucesos elementais, este criterio persegue tamén a valoración da competencia para asignar e interpretar probabilidades, utilizando en cada caso as técnicas adecuadas.

·         Planificar e realizar estudios concretos partindo da elaboración de enquisas, selección da mostra e estudio estatístico dos datos obtidos acerca de determinadas características da poboación estudiada, para inferir conclusións, asignándolles unha confianza medible.

Por medio deste criterio inténtase poñer de manifesto a capacidade de aplica–los conceptos relacionados coa mostraxe para obter datos estatísticos dunha poboación, e comprobar, se os alumnos e as alumnas son capaces de extraer conclusións sobre aspectos determinantes da poboación de partida.

·         Analizar de forma crítica informes estatísticos presentes nos medios de comunicación e noutros ámbitos, detectando posibles erros e manipulacións na presentación de determinados datos.

O alumnado ha de mostrar, a través deste criterio, unha actitude crítica ante as informacións que, revestidas dun formalismo estatístico, intentan deforma–la realidade, axustándoa a intereses determinados. Os informes poderán incluír datos en forma de táboa ou gráfica, parámetros obtidos a partir dela, así como posibles interpretacións.

·         Realizar investigacións nas que se utilicen estratexias tales como a reorganización e codificación da información de partida, a busca de exemplos, particularizacións, xeneralizacións, métodos de ensaio–erro sistemáticos e as ferramentas matemáticas adecuadas.

Preténdese valorar se os alumnos e as alumnas son capaces de modelar situacións, utiliza–la reflexión lóxico–deductiva, os modos de argumentación propios das Matemáticas e as destrezas adquiridas para realizar investigacións, e así mesmo se poden enfrontarse a situacións novas con eficacia.

Matemáticas aplicadas ás Ciencias Sociais

Programa

ALXEBRA

Cálculo matricial

• Concepto de matriz. Tipos de matrices

Definición de matriz mxn. Elemento dunha matriz. Notacións. Tipos de matrices: rectanulares, cuadradas (triangulares, diagonal, identidade, simétricas). Matrices fila e columna. Matriz nula. Trasposta dunha matriz.

• Operacións con matrices

Suma de matrices de orde mxn. Oposta dunha matriz. Propiedades da suma de matrices. Producto dun número por unha matriz. Propiedades. Definición do producto de matrices. Propiedades do producto de matrices: asociatividade, non conmutatividade, distributividade respecto á suma. Elemento neutro (nas matrices cuadradas).

• Determinantes

Determinantes de orde 2 e 3. Regra de Sarrus. Propiedades máis importantes dos determinantes. Definicións de menor complementario e adxunto dun elemento. Cálculo dun determinante polos elementos dunha liña. Rango dunha matriz.

• Inversa dunha matriz cuadrada

Definición de matriz inversa. Condición necesaria e suficiente para a existencia da matriz inversa (enunciado). Cálculo da matriz inversa mediante adxuntos.

• Sistemas de ecuacións lineais

Definición de : ecuación lineal con n incógnitas, solución dunha ecuación lineal, sistema de m ecuacións lineais con n incógnitas, solución dun sistema de ecuacións. Forma matricial dun sistema de ecuacións lineais. Clasificación dos sistemas según o número de solucións.

• Discusión e resolución de sistemas

Sistemas equivalentes: Resolución matricial. Regra de Cramer. Método de Gauss.

COMENTARIO:

Sería desexable que o alumno vise a interpretación xeométrica dos sistemas de ecuacións lineais con dúas incógnitas.

Non se considerará a discusión e resolución de sistemas dependentes de un parámetro.

Programación lineal

• Iniciación á programación lineal

Igualdades e desigualdades. Propiedades das desigualdades. Inecuacións lineais con unha e dúas incógnitas. Sistemas de inecuacións lineais con duas incógnitas. Resolución gráfica e analítica.

·         Plantexamento e resolución de problemas de programación lineal. Formulación de problemas sinxelos de programación lineal (en dúas variables) Definicións: función obxetivo, conxunto de restriccións, rexión factible, solucións óptimas. Resolución por métodos gráficos.

ANÁLISE

• Funcións elementais de variable real

Descripción e intrepretación gráfica de funcións elementais: lineais, afíns, cuadráticas, proporcionalidade inversa, exponenciais, logarítimicas e trigonométricas (sen x, cos x, tag x).

• Idea intuitiva de continuidade

Concepto intuitivo de límite dunha función nun punto. Límites laterais. Concepto de función continua nun punto.

• A derivada

Tasa de variación media. Concepto de derivada dunha función nun punto.

Interpretación xeométrica. Definición de función derivada. Derivadas sucesivas.

• Cálculo de derivadas

Regras de derivación. Derivadas de funcións elementais

• Aplicacións das derivadas

Aplicacións ó estudio da variación dunha función e á súa representación gráfica (crecemento e decrecemento, extremos relativos, concavidade e convexidade, puntos de inflexión, asíntotas).

Problemas de máximos e mínimos.

• Integración

Primitiva dunha función. Integral indefinida. Propiedades lineais da integral. Cálculo de primitivas: integrais inmediatas; cambio de variable, integración por partes, integrais racionais con raíces reais simples.

• A integral definida

Área baixo unha curva: integral definida. Propiedades. Valor medio dunha función.

• Aplicacións ó cálculo de áreas

Regra de Barrow. Cálculo de áreas planas.

COMENTARIO:

O estudio e representación gráfica de funcións comprenderá: funcións

polinómicas, racionais (sinxelas), funcións nas que interveñan termos exponenciais, logarítmicos, trigonométricos e funcións definidas a trozos.

O alumno debe asociar certas formas de gráficas coa correspondente fórmula (en particular comportamentos lineais, afíns,

cuadráticos, exponenciais e logarítmicos); así como sacar conclusións, a partir da representación gráfica, sobre o comportamento da magnitude representada.

Na representación gráfica de funcións o alumno deberá calcular as asíntotas (excluidos os casos que requiran da regra de L'Hopital para o seu cálculo) e interpretar o significado das mesmas.

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE

• Sucesos aleatorios. Probabilidad

Experimento aleatorio. Espacio muestral. Sucesos. Operaciones con sucesos. Axiomática de la probabilidad. Propiedades. Cálculo de probabilidades sencillas.

• Probabilidad condicionada

Experiencias compuestas. Probabilidad condicionada.

Sucesos independientes. Regla del producto.

• Variable aleatoria discreta. Funcións asociadas

Definición e exemplos de variables aleatorias discretas.

Función de masa de probabilidade. Función de distribución.

Parámetros dunha distribución: esperanza matemática,

desviación típica.

• Distribución binomial.

Descripción da distribución binomial. Aplicacións.

Fórmulas da esperanza e da desviación típica.

• Variable aleatoria continua. Funcións asociadas}

Definición e exemplos de variables aleatorias continuas.

Función de densidade. Función de distribución.

Parámetros dunha distribución: esperanza matemática, desviación típica.

• Distribución normal

Descripción. Función de densidade. Parámetros da distribución normal: media e varianza. Cálculo de probabilidades de distribucións co uso das táboas.

• Aproximación da binomial pola normal

Condicións para poder aproximar a distribución binomial pola normal. Cálculo de probabilidades dunha binomial aproximada por unha normal.

• Estimación

Poboación e mostra. Tipos de mostras.

Parámetros poboacionais: media μ e varianza σ² dunha variable, proporción p dunha variable binomial.

Estatísticos mostrais: media mostral , cuasivarianza mostral Ŝ², proporción mostral .

Distribución da media mostral, da proporción mostral.

Estimación puntual.

Estimación por intervalos de confianza:

a) intervalo de estimación da media dunha variable normal:

i) varianza coñecida,

ii) varianza descoñecida e mostra de tamaño grande.

b) intervalo de estimación da proporción dunha variable

binomial (mostra de tamaño grande),

c) Determinación do tamaño da mostra.

COMENTARIO:

Na construcción dos intervalos de estimación facilitaráselle ó alumno a distribución da media mostral e da proporción mostral:

Matemáticas

1. Introducción
A formación xeral dos alumnos e das alumnas, a súa orientación e preparación para estudios superiores constitúen as finalidades do Bacharelato. Esta formación debe favorecer, entre outras, actitudes reflexivas, críticas e de análise para comprender e valora–las realidades do mundo no que vivimos, e proporciona–la autonomía persoal para, comprendéndoas, poder enfrontarse ás novas situacións que se producirán no mundo cambiante e dinámico no que vivirán.

Parece indubidable o papel importante que tanto a ciencia coma a tecnoloxía xogan no desenvolvemento e na evolución do mundo actual. Para comprender esta función é necesario coñecer non só o saber científico, senón tamén o seu proceso de formación, que se consegue, moitas veces, construíndo modelos dos fenómenos naturais. A interacción entre este saber e a experiencia operativa aportada pola técnica configura a tecnoloxía precisa para dotarnos dos múltiples materiais, productos e instrumentos que nos rodean.  Pero tanto o coñecemento científico, na construcción e análise dos modelos de que se vale, coma a actividade tecnolóxica baséanse case sempre sobre contidos matemáticos.

Non só eso demanda que no currículo do Bacharelato se ofreza unha preparación básica adecuada nesta materia. Tamén o demanda o carácter propedéutico do Bacharelato e o feito de que as Matemáticas están presentes nos estudios superiores tanto científicos coma tecnolóxicos. Esta preparación concrétase no dominio dos contidos matemáticos básicos para a comprensión dos coñecementos desas disciplinas, así como dos elementos fundamentais da investigación e do método científico.

Polo tanto os contidos de Matemáticas seleccionados para o Bacharelato de Ciencias da Natureza e da Saúde e o Bacharelato de Tecnoloxía axudan a lograr, xunto coas demais áreas, as finalidades e obxectivos xerais do Bacharelato.

Os alumnos e as alumnas deben chegar ó Bacharelato acostumados a usa–las Matemáticas como unha ferramenta útil para analizar, interpretar e predici–lo comportamento de situacións do seu contorno. Durante esta etapa, sen abandonar este aspecto instrumental, afianzaranse, xustificaranse e ampliaranse os métodos xa coñecidos e introduciranse novas ferramentas matemáticas, necesarias para resolver problemas científicos e tecnolóxicos.

Este papel das Matemáticas, ademais de soporte simbólico, metodolóxico e procedemental para explica–los fenómenos dos que se ocupan a ciencia e a tecnoloxía, axudando a resolve–los seus problemas, serve tamén para dotar de significado e, polo tanto, de relevancia ós propios métodos, conceptos e procedementos matemáticos.

Sen embargo as Matemáticas no Bacharelato non deben intentar proporcionar todos e cada un dos instrumentos necesarios para o desenvolvemento das outras ciencias. Trátase máis ben de ofrecer ós alumnos e ás alumnas a oportunidade de manexar unhas poucas ferramentas básicas en contextos variados, o que contribuirá a fortalece–la idea da potencia, adaptabilidade e versatilidade das mesmas. Para esta tarefa é imprescindible que, cando sexa preciso, se poña de manifesto este valor instrumental nas demais materias, aplicando as ferramentas e os procesos matemáticos na resolución de problemas de, por exemplo, Física, Química ou Bioloxía.

As Matemáticas na súa versión formal fan uso dun método que lles é propio e, quizais, as distinga das demais ciencias. Pero para chegar a participar do razoamento deductivo é imprescindible que previamente os alumnos e as alumnas constrúan os conceptos e deduzan as relacións entre eles a partir do traballo sobre obxectos, matemáticos ou non, que xa dominen e en situacións motivadoras. Esta construcción do coñecemento debe facela o alumno, coa axuda do profesor, por medio de actividades non afastadas do seu nivel de desenvolvemento. A resolución de problemas ofrece unha oportunidade de practicar esta metodoloxía, proporcionando un bo camiño para a comprensión de conceptos, propiedades e relacións, que é un paso previo á abstracción de relacións e á realización de inferencias sobre representacións simbólicas, esto é, á formalización.

Ó facer matemáticas póñense en xogo procedementos propios da materia e outros de natureza máis xeral.  Os procedementos de análise de situacións problemáticas, a abstracción, a conceptualización, os procedementos de carácter heurístico para formular ou comprobar conxecturas e modelar situacións, o razoamento deductivo para demostrar aquelas ou inferir novos resultados do modelo, teñen un valor formativo que contribúe a crear hábitos, estructuras mentais e actitudes de aplicación noutros ámbitos distintos do matemático e científico.

Entre os diversos medios que poden utiliza–los profesores e os alumnos na clase de Matemáticas convén facer unha mención especial á calculadora e ó ordenador, que, ó facilita–la realización de cálculos tediosos ou repetitivos e ó presentar contornos de simulación, nos que os alumnos e as alumnas poidan manipular situacións nas que aparezan conceptos complexos, favorecen unha mellor aprendizaxe das Matemáticas.

2. Obxectivos xerais
As Matemáticas do Bacharelato de Ciencias da Natureza e da Saúde e do Bacharelato de Tecnoloxía contribuirán, como resultado dos procesos da aprendizaxe, á consecución das capacidades enunciadas nos obxectivos xerais seguintes:
 

• Comprende–los conceptos, procedementos e estratexias matemáticas que permitan a formulación das teorías e modelos científicos–técnicos para aplicalos a estudios posteriores e adquirir unha formación científica xeral.
• Relaciona–las Matemáticas coas outras áreas do saber, comprendendo que proporcionan un modelo teórico que abstrae e sintetiza o comportamento dos seus fenómenos, e apreciando as súas interrelacións como fonte de avance no seu desenvolvemento, dentro dun proceso cambiante e dinámico.
• Utilizar, con autonomía e eficacia, as estratexias características do método científico e os procedementos propios das Matemáticas para realizar investigacións e explorar situacións e fenómenos.
• Comprender e utiliza–las técnicas de expresión oral, escrita e gráfica apropiadas para analizar, valorar e comunica–la información susceptible de ser tratada matematicamente, e para adquirir unha opinión propia que permita expresarse criticamente sobre os problemas actuais.
• Valora–las actitudes asociadas ó traballo científico e matemático tales como a análise crítica das afirmacións, a constancia para atopa–las solucións, a busca da simplicidade e a precisión, a necesidade da verificación, o cuestionamento das ideas intuitivas e a apertura a outras ideas.
• Utiliza–la maneira en que as Matemáticas organizan os seus contidos para formular axeitadamente os problemas, establecer definicións precisas, xustificar procedementos, adquirir rigor no pensamento científico, encadear coherentemente os argumentos e detectar incorreccións lóxicas.
• Resolver problemas e situacións características da actividade cotiá, científica e tecnolóxica que requiran a utilización dos coñecementos matemáticos, abordando con creatividade e mentalidade aberta as situacións que a continua evolución científica e tecnolóxica formula á sociedade.

3. Bloques de contidos
Os contidos das Matemáticas preséntanse agrupados en bloques que non indican ningún tipo de prioridade.

Esta agrupación de contidos é a mesma que vén sendo tradicional na materia nos últimos anos nos niveis non universitarios. Pero convén insistir en que non pode parcelarse a ensinanza das Matemáticas en álxebra, cálculo infinitesimal, xeometría e estatística e probabilidade. As bases do cálculo infinitesimal están na álxebra e na topoloxía da recta, e a xeometría proporciona unha interpretación adecuada para a integración e a derivación; a álxebra e a xeometría están entrelazadas, aportando a álxebra a potencia da súa linguaxe simbólica e as súas operacións, e a xeometría a súa linguaxe intuitiva que pode servir de ponte entre a linguaxe natural e a formalizada da álxebra; tanto a estatística como a probabilidade sérvense das ferramentas que proporcionan a álxebra, a xeometría e o cálculo infinitesimal, facéndoas relevantes. A resolución de problemas favorecerá a consecución dos modos e actitudes propios da construcción das Matemáticas.  As abundantes relacións, que poden establecerse entre os contidos dos diferentes bloques, deben poñerse de manifesto na programación de aula, evitando tratalos de forma illada. Mantense a distribución nos tres tipos de contidos para non esquecer que conceptos, procedementos e actitudes deben terse en conta á hora de impartir e avalia–las Matemáticas.

3.1 Estatística e probabilidade
A estatística descritiva é tratada con diferentes niveis de profundidade e extensión desde a Educación Primaria.  A súa finalidade é presenta–la información recollida das mostras dunha poboación de forma útil e clara. Sérvese para iso de táboas, gráficas, diagramas e diferentes parámetros centrais e de dispersión. Ampliarase este estudio coa inclusión das distribucións bidimensionais que servirán para diferenciar cando unha relación entre dúas variables é funcional ou aleatoria e, neste caso, decidi–lo grao de relación que teñen, utilizando as rectas de regresión e o coeficiente de correlación. A atención debe centrarse máis na interpretación dos resultados que no cálculo destes, para o que é conveniente axudarse da calculadora ou do ordenador.

O traballo con distribucións de frecuencias relativas tamén pode servir para introducir intuitivamente as distribucións de probabilidade. As distribucións continuas poden presentarse como límite das discretas, pasando dunha curva graduada a unha continua.  A asignación de probabilidades a sucesos medindo áreas baixo curvas, deben limitarse ás distribucións binomial e normal, empregando para iso as táboas correspondentes.

3.1.1 Contidos conceptuais

• Distribucións bidimensionais. Correlación e regresión lineal.
• Sucesos. Probabilidade composta, condicionada, total e «a posteriori».
• Distribucións de probabilidade discretas e continuas. Distribucións binomial e normal.

3.1.2 Contidos procedementais

• Asignación e interpretación de probabilidades a sucesos orixinados en situacións experimentais ou de xogo, utilizando diferentes técnicas de reconto ou as distribucións binomial e normal. Manexo de táboas.
• Aproximación dunha distribución binomial mediante a normal. Axuste dun conxunto de datos a unha distribución binomial ou normal.
• Realización de experiencias que permitan a construcción de táboas, a representación gráfica, o cálculo dos coeficientes de correlación e regresión e a interpretación de distribucións bidimensionais.  Axuste dunha nube de puntos a unha recta.

3.1.3 Contidos actitudinais

• Valoración da estatística e da probabilidade como instrumentos que permiten interpretar, describir e predicir situacións incertas.
• Valoración crítica do uso da probabilidade e da estatística nos medios de comunicación, analizando a información presentada e rexeitando a utilización incorrecta.
• Valoración da incidencia dos medios tecnolóxicos no tratamento e na representación gráfica de datos estatísticos procedentes de diversas fontes.

3.2 Xeometría
A reducción da xeometría á aritmética e á álxebra por medio da asignación dun par de números (ou tres) a cada punto do plano (ou do espacio) achega os métodos xeométricos ás necesidades cuantitativas da ciencia e da tecnoloxía, que, moitas veces, só poden satisfacerse numericamente. Esto non significa que se prescinda dos enfoques sintéticos no estudio de certos temas como, por exemplo, as cónicas.

Da mesma maneira que se aritmetizaron os puntos, a aritmetización da velocidade, a forza ou a aceleración, orixinou a teoría de vectores, que ten unha gran utilidade para o tratamento destas e doutras magnitudes físicas. Ademais a álxebra de vectores proporciona un bo camiño para comprender e resolve-los problemas métricos.

O uso das coordenadas polares debe facerse de maneira que se poña de manifesto que a elección adecuada dun sistema de referencia simplifica a representación e o manexo dalgunhas funcións.

3.2.1 Contidos conceptuais

• Sistemas de referencia no plano e no espacio. Coordenadas cartesianas e polares.
• Unidades de medida de ángulos. Razóns trigonométricas de ángulos. Resolución de triángulos.
• Vectores no plano e no espacio. Operacións.
• Xeometría métrica plana. Rectas. Lugares xeométricos. Cónicas.
• Problemas métricos do espacio. Productos escalar, vectorial e mixto.
• Rectas, curvas, planos e superficies.

3.2.2 Contidos procedementais

• Representación xeométrica de situacións reais e utilización das razóns trigonométricas para a medida indirecta de lonxitudes e ángulos e na resolución de triángulos.
• Interpretación xeométrica das operacións con vectores.
• Interpretación xeométrica da resolución de ecuacións e sistemas de ecuacións.
• Identificación, construcción e análise das cónicas estudiando a súa aplicación a distintas ramas da ciencia e da tecnoloxía.
• Resolución de problemas físicos e xeométricos no plano e no espacio utilizando o cálculo vectorial.
• Identificación da relación entre as características xeométricas de curvas e superficies e as súas ecuacións.

3.2.3 Contidos actitudinais

• Valoración da utilidade da Xeometría para coñecer e para resolver diferentes situacións, e flexibilidade para enfrontarse a situacións xeométricas desde puntos de vista distintos.
• Interese por revisar sistematicamente o resultado de medidas directas ou indirectas, rexeitándoas se non se adecúan ós valores esperados.
• Curiosidade e interese por investigar sobre formas, configuracións e relacións xeométricas, valorando a utilidade da linguaxe vectorial.
• Interese por recoñecer curvas e superficies na natureza e na técnica, apreciando os seus valores estéticos e funcionais.

3.3 Análise
O concepto de dependencia funcional e as súas formas diferentes de expresión xa é coñecido desde a Educación Secundaria Obrigatoria, pero limitando o traballo con expresións alxebraicas a unhas poucas funcións elementais. Trátase agora de amplia–la gamma das funcións tratadas a partir da súa expresión alxebraica.  Para completar este estudio introdúcese o concepto de derivada como a medida da variación instantánea que experimentan as magnitudes. Este concepto leva implícito o de límite dunha función, que debe tratarse dunha maneira intuitiva e principalmente relacionado co cálculo de derivadas.  Máis importante que a formalización dos conceptos de límite, derivada ou integral é a relevancia que acadan ó aplicalos á resolución de problemas concretos relacionados cos campos da ciencia e da tecnoloxía.  Neste nivel é máis productivo poñe–la atención nos resultados dos teoremas que nas demostracións. A función fundamental dunha demostración é convencer ós demais da certeza das nosas asercións. Pero cando as demostracións son longas e usan técnicas complicadas poden distrae–la atención do fundamental que é o resultado que se está buscando.  Non convén esquecer tampouco que os razoamentos intuitivos sobre o comportamento das funcións reais teñen, moitas veces, máis nivel de convicción que os razoamentos pseudo–formais que poden facerse neste nivel, o que non debe significa–la exclusión dos encadeamentos deductivos cando sexan pertinentes.

3.3.1 Contidos conceptuais

• Funcións. Formas de expresión: descrición verbal, fórmulas, táboas e gráficas.
• Características das funcións: dominio, recorrido, continuidade, crecemento e decrecemento, extremos, convexidade, ramas infinitas, asíntotas.
• Funcións elementais: polinómicas, racionais, exponenciais, logarítmicas e circulares.
• Límite dunha función nun punto.
• Derivada dunha función nun punto. Regras de derivación de funcións. Regra da cadea.
• Integral definida. Métodos de obtención de primitivas.

3.3.2 Contidos procedementais

• Identificación entre as gráficas das familias de funcións elementais e as súas expresións analíticas.
• Interpretación das características das funcións en relación ós fenómenos que representan, elixindo as escalas adecuadas.
• Interpretación da derivada como a medida do cambio e como a pendente da tanxente. Relación entre as características dunha función e a súa derivada.
• Cálculo de áreas de figuras planas utilizando o cálculo integral.
• Utilización do cálculo de límites e de derivadas na investigación do comportamento de fenómenos representables mediante funcións.
• Resolución de problemas de optimización mediante o cálculo de derivadas.

3.3.3 Contidos actitudinais

• Aprecio pola linguaxe das funcións e das gráficas como medio para representar e para resolver problemas do coñecemento científico.
• Curiosidade pola investigación de relacións entre magnitudes, aplicando as ferramentas matemáticas adecuadas e valorando a utilización dos recursos proporcionados polo cálculo infinitesimal.
• Valoración crítica da utilidade do ordenador para a representación e para o estudio das funcións.

3.4 Aritmética e álxebra
A extensión do concepto de número vense presentando ó longo de toda a educación dunha maneira natural, baseándose nas necesidades prácticas. Na introducción dos números complexos este criterio deixa de ser tan explícito, dado que o que prima son as propias necesidades da álxebra.

Os números complexos e as súas operacións alcanzan significado mediante a súa representación gráfica, xa que serven para ilustrar dunha maneira sinxela e elegante as transformacións do plano. Tampouco debe esquecerse que son un instrumento necesario na interpretación e resolución de problemas da ciencia e da tecnoloxía.
Tanto a competencia numérica (coñece–lo significado e uso dos diferentes tipos de números) coma as técnicas de resolución de ecuacións, deben tratarse en relación ós contidos dos demais bloques e en situacións contextualizadas.

3.4.1 Contidos conceptuais

• Números irracionais. Números reais. Notación científica. O número e.
• Números complexos. Formas binómica e polar. Operacións.
• Números factoriais e combinatorios. Binomio de Newton.
• Ecuacións non lineais.

3.4.2 Contidos procedementais

• Utilización dos números reais en diferentes contextos, elixindo a notación máis adecuada a cada caso e controlando as marxes de erro de acordo coas situacións seleccionadas.
• Emprego da fórmula do Binomio de Newton e doutras ferramentas numéricas e alxebraicas.
• Representación dos números complexos no plano e interpretación xeométrica das súas operacións.
• Uso de diversos métodos, tanto algorítmicos coma gráficos, para a resolución de ecuacións, criticando a pertinencia das solucións obtidas e interpretándoas dentro das situacións formuladas.

3.4.3 Contidos actitudinais

• Disposición favorable a incorpora–la linguaxe alxebraica á resolución dos problemas da ciencia e da tecnoloxía, valorando a súa precisión e simplicidade para representar e para comunicar fenómenos diversos.
• Valoración crítica da utilidade da calculadora e demais tecnoloxías para a realización de cálculos.
• Consideración da importancia dos recursos numéricos e alxebraicos para a formulación, a resolución e a expresión das solucións dos problemas.

3.5 Álxebra lineal
Atopar un método xeral de resolución de sistemas de ecuacións lineais, baseándose nas propiedades das matrices que os caracterizan, é o obxectivo fundamental deste bloque.

Debe facerse notar, ó mesmo tempo, as vantaxes que ofrece unha boa notación, como a proporcionada polas matrices, para a representación e para o manexo de datos estructurados sacados de contextos reais.  Os contidos deste bloque son necesarios para o desenvolvemento dos outros; sobre todo debe considerarse a interpretación xeométrica que deben te–los conceptos e relacións estudiados pola álxebra lineal.

3.5.1 Contidos conceptuais

• Matrices. Operacións con matrices. Matriz inversa. Rango dunha matriz.
• Determinantes. Propiedades.
• Ecuacións e sistemas de ecuacións.

3.5.2 Contidos procedementais

• Interpretación das operacións con matrices e das súas propiedades en problemas que reflicten situacións reais.
• Representación e manexo de datos estructurados en forma de matriz a partir de táboas e grafos extraídos de contextos reais.
• Utilización das propiedades das matrices e dos determinantes para a resolución de sistemas de ecuacións lineais.
• Emprego dos determinantes no cálculo de productos vectoriais e mixtos para a obtención de áreas e de volumes, e para a resolución de problemas.

3.5.3 Contidos actitudinais